Takîyüddîn
16. yüzyılda yaşamış meşhur Osmanlı bilim adamlarından Muhammed İbn Ma’ruf İbn Ahmed Takîyüddîn'in doğum yeri ve yılı hakkında çeşitli bilgiler mevcuttur. Onun genellikle 1525 veya 1526 yıllarında Kahire'de doğduğu kabul edilir. Ancak, 1521'de Şam'da doğduğunu bildiren yayınlar da vardır[1]. Şurası kesin olarak bilinmektedir ki, Takîyüddîn İstanbul'a gelmeden önce Kahire'de yetişmiş, eğitimini İstanbul'da tamamlamıştır. Onun İstanbul'da Çivizâde, Ebusuûd, Kutbeddinzâde ve Saçlı Emir gibi kimselerden dersler aldığı bilinmektedir. Daha sonra İstanbul ve Kahire'deki çeşidi medreselerde hocalık yapmış, 1571 yılında müneccimbaşı Mustafa Çelebi'nin ölümüyle Padişah II. Selim tarafından müneccimbaşılığa atanmıştır. 1577 yılında III. Murad'ın fermanıyla Tophane sırtlarında bir rasathane kurmuş ve burada astronomi gözlemleri yapmıştır. Rasathane kurma isteğinin Takîyüddîn'den geldiği de söylenmektedir. O, eski zîclerin artık ihtiyaca cevap vermediğini ve yeni gözlemlerin yapılması için bir rasathane kurulması gerektiğini bildiren bir raporu Padişaha sunmuş, III. Murad da Sadrazam Sokullu Mehmed Paşa ve Sadeddîn Efendi'yi bu işle görevlendirmiştir. Kurulan bu rasathane o dönemin en mükemmel rasathanelerinden biri olmasına rağmen ömrü çok kısa olmuş, 1583'de Şeyhülislamın fetvasıyla yıkılmıştır. Takîyüddîn bundan sonra iki yıl daha çalışmalarını sürdürmüş, 1585'te İstanbul'da ölmüştür[2].
Takîyüddîn yalnızca astronomi ile ilgilenmemiş, matematik, optik, mekanik gibi diğer matematiksel bilimlerle de uğraşmıştır. Bu yazıda incelenen cebir risalesi, bize onun matematikçi yönü hakkında fikir vermektedir.
Takîyüddîn’in bu risalesi Kitâb el-Nisâb el-Mütaşâkale (Sayıların Oranı) adı ile Oxford I. 881, 3٥ 1 numarada kayıtlıdır[3]. Tespit edebildiğimiz bu tek nüsha üç varak olup, Hicri 918 yılında yazılmıştır. Yazmada konu ve bölüm başlıkları belirlenmiştir. Birinci bölümde adı geçen Ibnü'1-Hâim, 1352 veya 1355 yıllarında Kahire'de vefat etmiş, asıl adı Ebu'l Abbas Şehâbüddîn Ahmed İbn Muhammed İmad olan matematikçidir[4]. O da hesap ile ilgilenmiştir.
Takîyüddîn 'in Cebir¡
Takîyüddîn’in cebir risalesi, giriş, üç bölüm ve sonuç olmak üzere beş kısımdan müteşekkildir. ‘Teknik Terimlerin Açıklanması” başlığını taşıyan giriş bölümünde, cebir biliminde kullanılan terimler incelenmiştir. Bilinmeyen için kullanılan x'in kendi kendisiyle çarpımından x2, bunun x ile çarpımından x3 elde edilir. x, x2 ve x3 cebir biliminde kullanılan asıl terimlerdir, bunlar vasıtasıyla diğer terimler de elde edilir. x3'ün x ile çarpımından x4, bunun yine x ile çarpımından x5, bunun x ile çarpımından da xG elde edilir. Bilinmeyen ve onun kuvvetleri için kullanılan terimleri Takîyüddîn’in bu şekilde açıklaması, daha önce İslam Dünyasında yazılmış bütün cebir kitaplarında verilen açıklamalara tamamiyle paraleldir. Bu terimlerden her birinin kendisinden küçük basamaktakine oranı, kendisinden büyük basamaktakinin kendisine oranına eşittir. Yani, asıl olan ilk üç terimden (x, x2 ve x3) sonra gelenlerin elde edilmesinde oran ve oranı özelliğinden yararlanılmaktadır. Böylece, Öklid geometrisi vasıtasıyla ön plana gelen oran ve oranı teoremlerinin işe karıştırıldığını görmekteyiz.
Takîyüddîn, risalesinin ilk bölümünde cebirsel ifadelerle yapılan dört işlemin kaidelerini incelemiştir. Çeşitli terimler arasındaki toplama işlemi vav (ve) ile yapılır; örneğin 3x+4x2 toplamında olduğu gibi. Yani, Arapça ve harfi günümüzdeki+notasyonuna tekabül etmektedir. Çıkarma işlemi, çıkartılma durumundaki (negatif) terimin eşitliğin her iki tarafına eklenmesi ya da çıkartılacak terimin doğrudan doğruya eksiltilmesi ile yapılır. (7x2-x)-5x ifadesi 7x2-6x biçimine, (5x3-3x)-(4x2-2) ifadesi de (5x4)-(2+؟؛x2+3x) biçimine dönüşür.
Çarpma işleminin tanımını Takîyüddîn a.b=x ise a/x=l/b biçiminde vermiştir. Bu tanım, genel olarak her çeşit cebirsel niceliğin çarpımına uygulanması mümkün bir tariftir. Çarpımın cinsi, çarpanların cinsine bağlı olarak belirlenir. Eğer iki sayı çarpılıyorsa, netice sayı olarak bulunur. 4.2x=8x örneğinde olduğu gibi, çarpanlardan biri sayı, diğeri de x'li bir terim ise, çarpım da x cinsinden bulunur. Parantezli çarpımlarda, bir parantez içindeki terimlerin her biri diğer parantez içindeki terimlerle birer birer çarpılır ve bunlar işaretine göre toplanarak ya da çıkarılarak netice bulunur.
Kesirli ifadelerin tam sayılı ifadelerle çarpımında kural, pay ve paydadaki terimlerin kuvvetlerinin farkının çarpımın kuvvetini belirlemesidir. Bu işlem, aynı zamanda bölme işlemi de olmaktadır. Takîyüddîn, buradan bölme işleminin kaidelerine geçer. Müfred bölmeyi üç gruba ayırarak inceler. Birinci grupta, bölen ve bölünen terimler aynı cinsdir, bölüm sayı olarak bulunur. Eğer bölünen bölenden küçük ise, netice kesirli sayı olarak bulunur. İkinci grupta, bölünenin kuvveti böleninkinden daha büyüktür. Bölümün kuvveti, bölünen ve bölenin kuvvetlerinin farkı ile belirlenir. 6x3/2x2=3x ve 6x3/9x2=(2/3)x örnekleri verilmiştir. Üçüncü grupta ise, bölenin kuvveti bölüneninkinden daha büyüktür. Bölümün kuvveti yine kuvvetler arasındaki fark ile bulunur, ancak bu fark paydaya yazılır. 5x2/5x3=l/x, 8x/2x3=4/x2 ve 8x/12x5=2/(3x٠) bölmeleri örnek verilmiştir.
Risalenin ikinci bölümü kurallar ile ilgili olup, Takîyüddîn burada cebir ve hat işlemlerini incelemiştir. Cebir (tamamlama) işlemi, x'in katsayısı bir'den küçük olduğunda, bunu bir'e tamamlamak; hat işlemi de bunun aksine, bir'den büyük olan x'in katsayısını bir'e indirgemektir. x’in katsayısını bir yapmak için eşitliğin bütün terimlerinin çarpılması gereken sayı dört oran yoluyla bulunur.
Oran ve orantı, İslâm matematikçilerinin bilinmeyeni bulmak için kullandıkları başlıca hesap yöntemiydi. Bu yöntemi, uygulanması mümkün olan her çeşit problemin çözümüne uygulamışlardı. Hattâ, problemleri bu açıdan iki gruba ayırmışlardı; bunlardan biri bilinmeyenin artırma ve eksiltme yoluyla bulunduğu sayı problemleri, diğeri de muamelât ile ilgili hesap problemleriydi.
“Ziyade ve noksana taalluk eden mesâil” adıyla anılan birinci gruba, birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denkleme yol açan sayı problemleri giriyordu, bunlar dört oran kurularak çözülüyordu. Ancak, böyle bir problemde daima bir eşitlik kurulacağı için, bu eşitliğin bir tarafının kesir biçiminde bulunması gerekiyordu. Çünkü İslâm aritmetikçileri negatif sayıyı tasavvur edemediklerinden bu tür denklemleri a=x.m biçiminde düşünüyorlardı. Hiç bir problemde bilinmeyen açıkça ifade edilemeyeceğinden ve örneğin beş sayısının eşiti hangi sayı olur şeklinde bir soru sorulamayacağından dolayı, böyle birinci dereceden problemlerin genel denklemi =a±xm veya a=xm şeklinde tasavvur edilir. m=b/h gibi bir kesir biçiminde verilirse, bu eşitlik de a=x (b/h) ya da a.h=x.b eşitliklerine dönüşür. Bunlar, bir orantının orta ve yan terimleri olarak kabul edilebilir. O halde bu eşitlik x/a=h/b şeklinde dört oran olarak yazılabilir. Bu durumda, böyle bir birinci derece denklemine yol açan her çeşit sayı problemini dört oran ile çözmek mümkün olacağından, İslâm matematikçileri de bu özelliği dikkate alarak, hesap kitaplarına bununla ilgili özel kurallar koymuşlardır. a=xm denkleminde m bir kesir biçiminde verilmemiş olsa bile, bu denklemi 1 .a=x.m gibi düşünmek ve böylece x/l=a/m orantısını kurmak mümkündür. Bu yüzden İslâm hesap uzmanları a=x gibi bir denklem çok açık olduğundan, böyle bir denkleme yol açan problemleri dikkate almamışlardı[5].
Risalenin üçüncü bölümü “Cebirsel Problemler” başlığını taşır. Bu bölümde, birinci ve ikinci derece denklemleri, alışılageldiği üzere iki grup altında toplanarak incelenmiştir, iki terimden oluşan “müfred denklemler” (yalın denklemler) üç tipe ayrılır. ax2=bx tipine örnek olarak 3x2=12x denklemi verilmiştir. Bu denklem tipinin çözüm yolu, x'li terimin katsayısının x2'nin katsayısına bölünmesidir.
ax2=c denklem tipi için de 3x2=12 denklemi örnek verilmiştir. Çözüm formülü, sayının kareli terimin katsayısına bölünmesi şeklindedir. İslâm Dünyası matematikçilerinden Kerecî de Fahrî adlı kitabında aynı örnek denklemi çözmüştür.
Müfred denklemlerin sonuncusu olan bx=c tipine Takîyüddîn 3x=12 denklemini örnek vermiştir. Bu denklemin çözüm yolu, c/b bölümüdür. x'in katsayısı bir olduğunda ise işlem yapmaya gerek yoktur.
İki terimin bir terime eşitlendiği “mukterinât denklemler” (katışık denklemler) de üç tiptir. ax2+bx=c tipinin çözüm formülü x= ٧(b/2)2 + c -(b/2) şeklindedir. Takîyyüddîn bu tipe örnek olarak x2+10x=24 denklemini vermiştir. Aynı örnek denklem ile Abdülhamîd ibn Türk'ün Cebir'inde ve Kerecî'nin İlel Hesabında da karşılaşılmaktadır.
ikinci mukterinat denklem tipi, x+c=bx denklemidir.Bu denklemlerin çözülebilme şartı olan c<(b/2)2 koşulunu Takiyüddin de söz konusu etmiştir.Buradaki çözüm formülü x=(b/2)--\1(b/ 2)2 - c dir. Ancak c<(b/2)2 olursa (b/2)2-c farkı bulunabilir. Bu tipin örnek denklemi x2+16=10x'dir. Kereci de İlel Hesâb adlı kitabında aynı denklemi örnek vermiştir.
Sonuncu katışı k denklem tipi x2=bx+c'dir. Bunun çözüm formülü x=(b/2)+ \l(b/2,)2 - c olup, x2=4x+5 denklemi örnek olarak verilmiştir. Bu denklemi de Abdülhamid İbn Türk'de ve Kereci'nin İlel Hesâb adlı kitabında bulmaktayız.
Takiyüddin bu denklemin çözümüne girişmeden önce, x2'nin katsayısının bir'den farklı olması durumunda bir'e dönüştürülmesi uyarısında bulunmuştur. Bu dönüştürme, cebir ve hat işlemleriyle gerçekleştirilecektir. Cebir işlemini (3/4)x2+10x+(1/2)x=24 denklemine uygulamıştır, çarparak, x2-tl4x=32 denklemini elde etmiş ve x Burada, ayni cins terimlerin eşitliğin bir tarafında toplanması İşlemi demek olan mukabele de yapılmıştır.
Denklemdeki bütün terimleri 4/3 ile özüm formülüne göre x=2 bulmuştur. bx=c denklem tipinin+etmiş ve x Burada, ayni cins terimlerin eşitliğin bir tarafında toplanması İşlemi demek olan mukabele de yapılmıştır.
Hat işlemini de 2(1/4)x2٠7(1/2)x=24 denklemine uygulamıştır. Bütün çarparak, x2+3(1/3)x=10(2/3) denklemini elde etmiş ve terimleri 4/9 ile x=2 çözümünü bulmuştur.
Takiyüddin, cebir ve hat işlemlerinin yalın denklemlere de uygulanabilecegini devr problemleri ile göstermiştir.
Risalenin sonuç bölümünde Takiyüddin çeşitli cebir problemlerini incelemiş tir. Verdiği problemlerden bir tanesi: Üçte biri ile dörtte birinin çarpımı , kendisinin yarısı olan sayı kaçtır? Burada, oluşturduğu x2 /12=x/2 denkleminde x2'nin katsayısı nı cebir işlemiyle bire tamamlayarak, elde ettiği x2=6x denklemini, x2=bx denklem tipinin çözüm kuralına göre çözerek x=6 cevabını bulmuştur. Buna benzer problemler İslâm Dünyası matematikçileri tarafından oldukça kapsamlı biçimde incelenmişti[6]
Takîyuddin'in bu risalesinde, cebir konusunu daha önceki İslâm mate- makilerinin oluşturduğu geleneğe uygun biçimde ele aldığı görülmektedir. İslâm Dünyâsı matematikçilerinin incelemiş oldukları denklem örneklerini bile Takiyuddin değişiklik yapmadan almış, ancak bu denklemleri çözerken geometrik yöntemleri hiç kullanmadan, aritmetiksel yaklaşımı be- nimsemiştir. Cebirin analitikselleşmesi adi verilen bu anlayışı daha önce Kereci'nin (10. yüzyıl sonu-11. yüzyıl başlan) ilel Hesâb adil kitabında da tesbit etmekteyiz[7].
Diğer İslâm matematikçileri gibi Takiyuddin de negatif sayılan söz konusu etmemiş ve ifadelerini retorik biçimde vermiştir. Oysa ki 16. yüzyılda Avrupa'da negatif sayı ve sembolizm vardı. Regiomontanus (14361476), Stifel (1486-1567), Cardano (1501-1576) alfabenin harflerini sembol olarak kullanmaya başlamışlar, Viete (1540-1630) de bu kullanımı yaygınlaştırmıştı. Simon Stevin (1548-1620), kuvvetler İçin tamamiyle sembolik bir notasyon kullanmış, kare yerine 2, küp yerine 3, döndüncü kuvvet yerine de 4 yazmışt[8]. Buna benzer bir gösterimle Nicolas Chuquet'nin Triparty... (1500) adli eserinde de karşılaşmaktayız[9] Bombelli (1530-?) ve Viete negatif sayılan açık biçimde kullanmışlardı. Takiyuddin'in risalesinden, onun Avrupa'daki bu gelişmeleri izlemediği anlaşılmaktadır.
İslâm Dünyasında hesap bilimi (aritmetik) ile cebir biliminin sınırı tam olarak çizilmemiş; cebir ve mukabele, hesap biliminin bir dalı olarak kabul edilmişti. En genel biçimiyle, bilinenler yardımıyla bilinmeyenlerin bulunmasını sağlayan bilim dalı olarak tanımlanan hesap biliminde; Hint hesabi, çift yanlış hesabi, oran ve orantı teorilerinin yanısıra bilinmeyenin bulun- m asi İçin kullanılan yollardan bir tanesi de cebir ve mukabele idi. Böylece, cebir bilimi de hesap bilimine dahil edilmiş oluyordu. Ancak bununla da yetinilmemiş, sayının (bilinmeyenin) sonradan bulunduğu bütün problemler hesap biliminin sınırları İçinde kabul edilmişti. Hatta çizgi, yüzey, hacim gibi geometrinin konusu olan terimlere bir değer verilince, yani kendi cinsleri ile ayni birimlerle orantılı olunca, bunların oluşturduğu geometri problemleri de hesap problemleri kapsamına alınmıştı. Bu yüzden İslâm matematikçileri arazi ölçümünü (mesaha) de geometrinin konusu olarak düşünmemişler,hesap biliminin bir dalı olarak kabul etmişlerdi. Bunun neticesinde, bütün hesap kitaplarına birer de “mesaha” bölümü ilave etmişlerdi[10].
Miras problemlerinde mirasçıların hisselerinin düzeltilmesi de hesab ile ilgili olduğundan, “ferâiz” bölümü de hesab biliminin dallarından kabul edilmiş, hibe ve vasiyetle ilgili konuları ele alan “devr ve vesâya” hesabı bölümü de ilâve edilmişti[11].
Hesab problemlerinin çözümü için kullanılan yollar da genellikle dört oran, çift yanlış, cebir ve mukâbele idi. Yalnızca cebir ve mukâbele hesabı, çift yanlış hesabı ile ilgili kitaplar yazıldığı gibi, hesab işlemlerinden bahseden hesab kitapları da yazılmışa[12]. Takîyüddîn'in de burada incelenen yazısının içeriği cebir olarak belirlenmiş olmakla birlikte, gördüğümüz gibi yalnızca üçüncü bölümde denklem çözümleri incelenmiştir. Şu halde, Takîyüddîn'in de kendisinden önceki İslâm geleneğini sürdürerek, cebiri hesab bilimi kapsamında mütalaa ederek, hesab biliminin alanının genişletilmesine katkıda bulunduğu neticesine varmak makûl gibi görünmektedir.
Kitâb el-Nisâb el-Müteşâkele (Sayıların Oranı)
Bismillahirrahmanirrahim,
Allah'a şükürler olsun. O'na sayılamayacak kadar hamd olsun. Salât-ü selâmım yüce Peygamberimize ve onun yakınlarınadır. Bu risale, cebir ve mukâbele ilmi hakkındadır. Onu, hatırlanmam için yazdım. Allah dilerse, ona başlarım. Bu risaleyi, bir giriş, üç bölüm ve bir sonuç kısmı olmak üzere hazırladım. Allah doğru ve güzel netice için yardım eder.
Giriş: Teknik Terimlerin Açıklanması.
Cezr (kök)'de c harfi fethe ile ve z harfi de kesre ile gösterilir, kendi kendisiyle çarpılma özelliği bulunan belirsiz sayıya kenar da, şey de denir. Özel bir yöntemle farz edilen değerle çarparak bilinene ulaşmak için bilinmeyen mağlum farz edilir. Bu nedenle elde genel ve özel kökler vardır. Böylece bunlar bilinmeyen faraziyeleri sağlar ve her biri kendi kendisiyle çarpılır. Faraziye eğer bilinirse kök olur, ve kendi kendisiyle çarpılır. Faraziye bilinmeyen ise şey olur, ve kendi kendisiyle çarpılmaz. Kök veya şe/in kendi kendisiyle çarpımından mâl (kare) elde edilir[13]. Muka”ab ve ka’b eş anlamlıdır, şimdiye kadar geçen terimlerin kuvvet açısından en büyüğüdür. Kök'ün kare ile çarpılmasından elde edilir[14]. Bu üç çeşit (terim) asil kuvvetler olarak belirlenmiştir. Mâl mâl, ka'b'ın en küçük kenar ile, yani kök ile çarpımından meydana gelir, m afin kendi kendisiyle çarpımıdır da[15], çünkü mâl, ka’b ve kök arasındaki orantının orta terimidir[16]. Bu bilimde buna bi- linmeyenlerin bulunması denir. Mâl el ka’b, mâl mâl in kök ile çarpımından elde edilir[17]. Ka’b el ka’b, mâl el ka'b'ın kök ile çarpımından elde edilir[18]. (Bu terimlerden) her çeşitin kendisinden önce gelene oranı, kendisinden sonra gelenin kendisine oranına eşittir[19]. Ve böylece devam eder. Bu çeşitler (terimler) arasında toplamayı ifade etmek İçin, terimlerin kuvvetlerinin top- lamı söylenir. Bütün bu kuvvetler ister çarpma ile büyütülmüş olsun, isterse çarpma yolu ile küçültülmüş kesirlerle elde edilmiş olsun, toplanırlar.
Eğer kök yarım olarak farz edilirse, karesi çeyrek, kübü sekizde bir, dördüncü kuvven sekizde birin yarısı, beşinci kuvveti sekizde birin çeyreği, altıncı kuvveti sekizde birin sekizde biri olur ve bu prensibe göre böylece devam eder[20]. Bu özellik, tabii sayılar dizisindeki mevcut bütün terimler İçin söz konusudur. Kok bir, kare iki, küp üç olur, bu hesap üzere altıya kadar devam eder. Mâl mâl olduğunda dort, ma el ka'b beş, ka’b ka’b alt! olur, ve boyle devam eder[21].
Terimlerin bu kuvvetlerinin temelindeki prensibi öğrenmek isterseniz, sayıların basamaklarını bilin ve onları iki ile, üç ile, on'a kadar bölün, bu bölümleri toplayın veya yineleyin. Yedinci kuvvet için mâl mâl ka’b[22] ve sekizinci kuvvet için mâl ka’b ka’b olur. Burada, mâl dört defa yinelenerek de sekizinci kuvvet elde edilir[23]. Dokuzuncu kuvvet için ka’b ka’b ka’b olur, ve değişik yineleme biçimiyle, üç kere mâl ve bir kere ka’b yazılarak da aynı şey elde edilir[24]. Ve böylece devam eder.
13 X.X=X2
14 x2.x=x3
15 x3 x=x4 =x2 x2
16 x/x2_x2/x3
17 x4 x=x5
18 x5 x=x6
19 örneğin, x2/x=x3 /x2
=x4/x3=...
20 x=1/2 ise,
x2=1/4
x3=1/8
x4=(1/8) (1/ 2)
x5-,-(1/8) (1/ 4)
x0=(1/8) (1/8)
21 x=i
x2=2
x3=3
x4=4
Birinci Bölüm: Hesap
Toplama: Bir cinsin kendi cinsine ilâve edilmesidir. Sayılar yazılır ve çeşidi terimler vav ( ٠ ) ile toplanır. Üç şey'in dört kare ile toplamında, bu kareler belli sayıdaki şey'e vav ile bağlanır[25]. Diğerlerinde de böyle yapılır. Ancak, çıkartılma durumu ve aynı cins terimler varsa, aynı cins terimler önceki gibi toplanır ve bütünden çıkarılır. Beş kare eksi altmış ifadesinin üç kare ile toplamında, sekiz kare eksi altmış elde edilir[26]. İki tarafta toplam durumundakiler toplanır, sonra çıkartılma durumundakiler (negatifler) toplanır, çıkartılma durumundakilerin tamamı bütünden çıkartılır. Dört kök eksi beş şey ve altı kök eksi üç şey'in toplamı, on kök eksi sekiz şey olur[27].
Çeşidi cinslerin toplamına gelince, serbest biçimde bir araya gelmiş terimlerin bulunduğu ifadelerde, çıkartılma durumunda olanlar ayrılır, yalnızca bunlar toplanır, sonra bu toplam, diğerlerinden çıkartılır.
Çıkarma: sayıların azaltılmasıdır. Çeşidi cinslerin çıkartılmasında, bunlar hariç tutma (kelimesi) ile çıkartılır. Örneğin, üç şey'in dört kareden çıkarılması meselesinde cevab dört kare eksi üç şey ya da üç şey eksi dört kare olabilir[28]. Çıkartılma durumundaki terimi eşitliğin her iki tarafına ekleyin, eşitlik bozulmaz, ya da bir tarafta çıkarma yapın. Beş şey'in yedi kare eksi şey- 'den çıkarılmasında, toplamadan sonra ifade yedi ve altı biçimine dönüşür, çıkarma işareti gelir ve çıkarmadan sonra yedi kare eksi altı şey kalır[29]'. Dört kare eksi iki dirhemin beş küp eksi üç şey’den çıkarılmasında, ifade dört kare ve üç şey'in beş küp ve iki dirhemden çıkarılmasına dönüşür[30].
Çarpma: Birleştirme (arttırma) çabası. İki çarpandan birinin çarpıma oranı, bir'in diğer çarpana oranına eşittir[31]. Müfred sayıların çarpımında sayılar ayrılır ve çarpım neticesinde terim elde edilmez (sayı elde edilir). İki çarpandan biri sayı ve diğeri bir terim cinsindense, önceki gibi çarpma yapılır, çarpımın cinsi bu terim cinsinden olur. Dört’ün iki kök ile çarpımı sekiz kök verir[32]. Diğer terimlerle de aynı şekilde yapılır. Eğer iki tane müfred kök olsaydı, sonuç yine önceki gibi olurdu ve neticenin kuvvetini çarpanların kuvvetlerinin toplamı belirler. Eğer iki çarpan da mürekkep ya da biri mürekkep olursa, bir çarpandaki her cins terimi diğer çarpandaki terimlerle birer birer çarpın ve her çarpımın cinsini belirleyin, bütün neticeleri toplayın, elde edilen istenendir. Beş ve iki şey'in,altı ve üç şey ile çarpımında, beş i altı ile çarparız, otuz olur. Sonra, beş’i üç şey ile çarparız, onbeş şey olur. Sonra, iki şey'i altı ile çarparız, oniki şey olur. Sonra, iki şey'i üç şey ile çarparız,altıkare olur. Bunları toplarız, otuz ve yirmiyedi şey ve altıkare elde edilir[33]. Bu, doğrudur. Burada çıkarma olması durumunda, kaide şudur: kendisinden eksiltme yapılan pozitif, çıkartılan negatif olur. Pozitif ile pozitifin çarpımı ve negatif ile negatifin çarpımı pozitif olur. İkisinden birinin diğeri ile çarpımı negatif olur[34]. Bunu anladıysanız, önceki gibi çarpma işlemini yapın ve negatifi pozitiften çıkartın, cevabı bulursunuz.
Beş eksi iki şey ile altı eksi üç şey'in çarpımında, önceki örnekteki gibi çarparız, sonra toplarız ve negatifleri çıkartırız. Otuz ve altı kare eksi yirmiyedi şey bulunur[35]. Beş artı şey ile on eksi şey çarpımında, beş’in on ile çarpımından elli gelir, beş'in şey ile çarpımından beş şey noksan, ve şey'in on ile çarpımından artı on şey, şey'in şey ile çarpımından eksi mâl gelir. Artı on şey'den eksi beş şey'i çıkartırız, ve kare de çıkartılır. Netice elli artı beş şey eksi kare bulunur[36]. Bir'den küçük kesirli terimlerin tam sayılı terimlerle çarpımı da tam terimlerin çarpımı gibi olur. Çarpım neticesinin kuvveti her iki ifadenin kuvvetlerinin farkıdır[37]. Burada fark alınır ve şey sayıya dönüşmez. Bunun için kesin biçimde yapılmış bölmeye ihtiyacınız olduğunu biliniz.
Bölme: Müfred ifadenin müfred ifade ile bölümünde üç grup söz konusudur. İlki, bir cinsin kendi cinsine bölümüdür. Bölme neticesinde bu cins elde edilmez, çünkü bölümün kuvveti (üssü), kuvvetlerin farkıdır ve burada kuvvetlerin farkı söz konusu değildir (sıfırdır). Bölünen daha büyükse, bölüm sayı olarak; bölene eşit ise bir olarak bulunur; bölünen daha küçük ise, kesir olarak elde edilir.
İkincisi, bölünenin kuvvetinin bölenin kuvvetinden daha büyük olduğu bölme grubudur. Bölümün cinsi kuvvetlerin (üslerin) farkı ile bilinir. Bölüm birincide olduğu gibi bulunur. Altı küp'ün iki kareye bölümü üç kök, ve altı küp'ün dokuz kare'ye bölümü 2/3 kök verir[38].
Üçüncüsü, bölünenin daha küçük kuvvete ve bölenin bundan daha büyük kuvvete sahip olduğu bölmedir. Bölümün kuvveti, kuvvetlerin farkıdır, ancak bu fark bölen tarafına yazılır. Bölüm yine birinci grupta olduğu gibi bulunur. Beş kare'nin beş küp'e bölümünde, paydada kök bulunur[39]. Sekiz kök'ün iki küp'e bölümünde dört bölü kare bulunur[40]. Sekiz kök'ün oniki mâl ka’b'a bölümünde iki bölü üç mâl mâl elde edilir[41].
Bu mesele böylece incelendi. İbn Hâim ve diğerleri bu konuda bir şey söylememişlerdir. Bu ifadeye göre düşünmek faydalı olmadığından ve buna göre işlem yapılamadığından, eskilerin de teyid ettiği gibi, bölmenin doğruluğunun ispatı (sağlaması) çarpmadır.
Müfred ifadenin ya da mürekkep ifadenin mürekkep ifadeye bölünmesine gelince, bunun iki yolu vardır. Meşhur altı problem anlatılmadığından, burada vermeye gerek yoktur. Allah en iyi bilendir.
ikinci Bölüm: Kurallar Üzerine
Cebir: Bir'in bulunacak miktara (bilinmeyene) oranının eldeki kesrin bir'e oranına eşit (lenmesi ile kurulacak) orantı yardımıyla (eşitliğin çarpılması gereken) miktarın bulunmasıdır[42]. Bir, bu orantıda orta terimdir. Biri eldeki kesire böldüğünüzde, bir'den daha büyük bir sayı çıkar, bu sayıyı eldeki kesir ile çarptığınızda yine bir elde edilir[43]. Bunun ispatı, orantının orta terimlerinin çarpımının, yan terimlerin çarpımına (ortalar-yanlar çarpımı) eşit olmasına dayanır. Dörtte üç, bir tam bir bölü üç'e neden olur, ve bu payda ile çarpılarak yine müfred kesire dönüştürülür[44].
Başka bir yol: Eldeki kesir ile bir arasındaki farkı bulun. Bu farkı kesire oranlayın ve bulduğunuzun eldeki kesire oranını bir'e ekleyin, kesir ve bir arasındaki fark dörtte bir'dir. Bunun kesire oranı 1/3 eder, bunu miktara ekleyin, 1~ bulunur, cevap budur[45].
Hat: Aranan miktarın bir'e oranı, bir'in küçültmek istediğiniz bir'den büyük sayıya oranına eşit (lenmesi) işlemidir[46]. 1٠ 'ün hat işleminde 3/4 bulunur, bu, bir'in 1 ٠'e bölümünden çıkandır.
Başka bir yol: Küçültülecek sayı ile bir arasındaki farkı bulun, bunun küçültülecek sayıya oranını bir'den çıkarın, kalan istenendir[47].
Burada mukâbele işlemi de görülür. Cebirsel veya çizgisel (lineer) bir nicelik, eşitlikteki bütün terimler ile çarpıldığında, durum değişmez ya da eşitliğin terimlerinde, cebir ile bir'e tamamlamak için çarpılan miktar kadar artma, veya hat işlemiyle bir'e indirmek için eksiltme yapılan miktar kadar azalma olur. Bunun başka bir anlamı daha vardır, bu, eşitliğin bir tarafında ya da iki tarafında da çikarma işleminde olduğu gibi kesirin artırılması veya eksil tilmesidir.
Eğer orantı konusunda size sunulanları öğrendiyseniz, eşitliklerde mukabele ile birlikte cebir veya hat işlemini yapmak sizin için kolay olacaktır. Örneğin, şey ve şey'in dörtte biri ile altıda biri 87 (1/2)'ye eşit olsun. Sayıların oranından, şey'in 87 (1/2)'ye oranının 24/25'e eşit olduğunu buluruz. içler-dışlar çarpımından ve bir tarafı diğer tarafa bolerek, cevap olarak 84 buluruz[48]. Bu, hat işlemidir. Cebir de bunun aksidir.
Üçüncü Bölüm: Cebir Problemleri
Her biri iyice incelenmiş altı tip (denklem) vardır. Orantı yardımıyla bi- linmeyenlerin bulunması ve bu yolların artırılması mümkündür. Bu altı tip ten üçüne “mufred denklemler” (yalın denklemler) denir; bu çeşit denklem tiplerinde (x ve x؛'li) terimler, veya terim ve sayı arasında eşitlik kurulur.
ilki, kare miktarın koklu terime eşit (ax؛=bx) olduğu denklem tipi- dir.Burada, kok katsayısı (b), karenin katsayısına (a'ya) bölünür, örneğin, üç mâl'in oniki şey'e eşit olması durumunda (3x12=؛x eşitliğinde), bu bölme ile dort bulunur. Bulunan bu dört, bilinmeyenin değeridir. Kare onaltı olur, üç kare kırksekizdir, kırksekiz ise, onikinin dort ile çarpımına eşittir [49].
İkincisi, kare miktarın sayıya eşit (ax؛=c) olduğu denklem tipidir. Burada da sayı, kareli terimin katsayısına bölünür. 3x2=12 örneğinde, kare dört bulunur, üç kare ise oniki olur[50].
Uçüncüsü, köklerin sayıya eşit (bx=c) olduğu denklem tipidir. Buradaki yol, sayının (c'nin) kök katsayısına (b'ye) bölünmesidir. Örneğin, 3x=12 denkleminde, kök dört bulunur. Kökün üç katı oniki olur[51]. Bölen bir olduğunda (yani, kök katsayısı bir olduğu zaman), bu bölme işlemini yapmaya ihtiyaç yoktur, eşitlik doğrudan çözümü verir.
Mukterinat (kauşık denklemler) da üç çeşittir. Bu denklemlerde, terimlerden biri diğer ikisine eşittir (eşidiğin bir tarafı mürekkeptir).
İlki, kare ve kökler toplamının sayıya eşit (ax2+bx=c) olması halidir. Çözümü bulma kaidesi, kök katsayısının yarısının karesini sayıya ekleme, ve bunun karekökünden kök katsayısının yarısını çıkartma şeklindedir. Kalan, istenendir, yani kökdür[52]. Bunun örneği, x2+10x=24 denklemidir. Kök iki, ve kare dört, on kök ise yirmi bulunur. Kare ve on kökü toplamı yirmidört elde edilir[53].
İkinci mukterinat, kare ve sayı toplamının köklere eşit (x2+c=bx) olmasıdır. Burada çözüm şartı, c<(b/2)2 olmasıdır. Aksi halde problem (in çözümü) imkânsız olur. Ancak bu durumda sayıyı, kök katsayısı yarısının karesinden çıkartmak mümkündür. Sonra, elde edilenin karekökü, kök katsayısının yarısından çıkarulır, istenen çözüm bulunur[54]. Buna örnek, x2+16=10x denklemi verilebilir. Kök iki, kare dört bulunur. Kare ve onaltı toplamı yirmi, yani on kök olur[55].
Üçüncü mukterinat, karenin kök ve sayı toplamına eşit (x2=bx+c) olmasıdır. Buradaki kaide, kök katsayısı yarısının karesinin sayı ile toplanıp, bu toplamın karekökünün kök katsayısı yarısına ilâvesidir, bu şekilde kök elde edilir[56]. Buna örnek, x2=4x+5 denklemidir. Kök beşdir[57].
Uyarı: Mukterinattaki işlemler, x2'nin katsayısının bir yapılmasına dayanır. x2'nin katsayısı birden küçük olduğu zaman bire dönüştürün. Birden büyük olduğu zaman da bire indirin.
Cebir ve hat hesabında pratiğini yaptığınız üzere, elinizde kalan ile doğru biçimde hangi işlemin yapılacağı muhakkak bellidir. Sonra, elde edilen sayı ile üçüncü kaideyi doğru olarak uygularsınız.
Cebirin örneği: (3/4)x2+10x+(l/2)x=24 denkleminde, x2'nin katsayısını bir'e dönüştürmek için, kareli ve köklü terimleri ve onların eşiti olan sayıyı 1٤ ile çarparız, bu mukâbele anlamına da gelir. Denklem, x2+14x=32 biçimine dönüşür. Bu işlemden sonra, dördüncü meselenin (çözüm) kaidesine sağlanır.
Hat işleminin örneği: 2 —x7+؛ —x = 24 denkleminde, 2 —x2 kesiri 4/9
4 2 4
ile çarpılarak x2'ye dönüştürülür. Denklemdeki bütün terimler de aynı kesir ile çarpılarak, x2+3x+(l/3)x=10٠ denklemi elde edilir. Cebir örneğinde de geçen bu işlemden sonra, x=2 bulunur. x2=4 ve 2٠x2 = 9, 7 — x = 15 elde edilir. Hepsi birden (yani, 2٤x2 + 7٤x) 24'e eşit çıkar.
Cebir ve hat işlemlerinin müfred denklemler için de geçerli olduğunu biliniz. Bunun örneğini devr problemleri arasında buluruz. Kaplumbağa, güvercin ve bir top kumaş alınsın. Kaplumbağanın ederi= (güvercinin ederi/2) + 15, güvercinin ederi=(kumaşın ederi/4) + 15, kumaşın ederi=(kaplumbağanın ederi/5)+15 olsun. Bunların her birinin ederi ne kadardır? Kaplumbağanın ederi=x olsun. Bundan 15'i çıkartalım, sonra iki kaunı alalım, iki şey eksi otuz elde edilir, bu güvercinin ederi olur. Bundan
c + ؛(2/b)٧ + (56 x = (b / 2
5+57 x2=4x 5=x
15'İ çıkartırız, iki ؛ey eksi 45 kalır, bunun dort kauni almz, sekiz ؛ey eksi 180 bulunur. Bu, kumaşın ederi olur. Bundan 15 çıkartılır, sekiz ؛ey eksi 195 ka- lir, bu kaplumbağanın ederinin beşte birine eşittir. Mukabele işleminden sonra, 7 X =195 ؛ekline dönüşür. Üçüncü müfredata gore, sayıyı x'in kat- sayısına boleriz, bunun İçin once tam sayılı kesiri tekrar kesir haline dönü؛- türürüz ve her iki tarafi bu kesire boleriz. Bu İşlem başka bir çeşit cebir ve mukabeledir. Bölmeden 25 çıkar, ve bu, kaplumbağanın değeridir. Bundan 15'İ çıkartırız, geriye 10 kalır, bunun iki katim alırız, 20 eder, bu, güvercinin ederidir. Bundan 15'İ çıkartırız, 5 kalır, bunun dort kau kumaşın değerini verir, bu ise 20'dir. Bundan 15 çıkarılırsa, 5 kalır ve bu kaplumbağanın de- gerinin beşte biridir[58]. Buna benzer omekler de boyle hesaplanır.
Bu altı meselenin çözüm kaidelerine dalıil olduğu zaman, devr prob !emlerinin çözümünde de pratik işlemlere ve konunun sağlarn bilgisine ihti- yaç vardır, üç denklem oluşturmak üzere, elmas, yakut ve lal olsun. Elmasın ederinin üçte birinin 100'den farkının yakutun ederi, yakutun ederinin yan- sının 100'den far kının lalin ederi, ve lalin ederinin dörtte birinin 100'den farkının elmasın ederi olduğu söylenmektedir[59]. Elmasın ederini X ile goste- relim. Bunun üçte birini 100'den çıkartalım, 100-(x/3) ifadesi kalır. Bunun yansım 100'den çıkartalım, 109(1/2) (100-x/3), 5O+x/6 kalır. Bunun dortte birini 100'den çıkartalım, 100,(1/4) (5O-t-x/6), 87ل=قل-لbulunur.
2 4 6
Mukabele İşlemi yaparak negatif ifadeyi eşitliğin öbür tarafina geçiririz, 871/2 = x + 1/4 x/6 elde edilir. Sonra bunlarla hat İşlemi ve çıkarma yapanz, “x-15
x=84=elmasın ederi bulunur. Devr’i bitirmek için, yakutun ederi=72 ve lalin ederi=64 bulunur. İstenen de buydu.
25-15=10
10.2=20 =güvercinin ederi
20-15=5
5.4=20=kumaşın ederi
20-15=5=1/5 kaplumbağananı ederi
Sonuç: Bu Bilimin Sırlarının Açığa Vurulmasını Tayin Eden Geçerli Cebir Problemleri Grubu
Mesele: Bir sayının üçte biri ile dörtte birinin çarpımı, sayının yarısını vermektedir. Sayı x olsun. Bu durumda (x/3).(x/4) = (l/2) (l/6)x2 olur. Çünkü, kesirli x ile kesirli x'in çarpımı daha da küçültülmüş x2 verir. Böylece, (x2/12)=x/2 elde edilir. Cebir işlemiyle, kesirli x2'yi tam sayılı x2'ye dönüştürürüz. Bunun için, oniki ile çarparız, bu çarpımla, eşitlik x2=6x şekline dönüşür. Şeyleri mâl'e böleriz ve x=6 bulunur. Bunun üçte biri ile dörtte birinin çarpımı, altının yarısını verir[60].
Örnek: Kare (bir sayının) üçte biri ile dörtte birinin çarpımı 3 yapmaktadır. Kare (sayı) x olsun. daha önce geçtiği üzere, (x/3).(x/4) = (l/2) (l/6)x2=3 bulunur. 12 ile çarparak cebir işlemi yaparız. x2=36 bulunur, bunun kare kökünü alırız. x=6 elde edilir[61].
Tenbih: Ancak bu kökü alırız, çünkü bölüm müfred karedir, ve bu neticeyi değiştirmez, bölüm sonucu kare otuzaltı olur. Bunun karekökünü alırız, çünkü sayı ona bağlıdır.
Mesele: On sayısını iki kısma bölün ve kısımların her birini kendi kendisiyle çarpın ve bunları toplayın, 68 bulunur. Kısımlardan biri 5+x ve diğeri de 5-x olsun. Bunların karelerini alıp toplayalım, 2x2+50=68 bulunur. Müşterek terimleri çıkartırız, 2x2=18 kalır, x2=9 ve x=3 bulunur. Bunu, beşlerin birinden çıkartırız, 2 kalır. Ve diğer beşe ilâve ederiz, 8 olur[62]. Bunlar on sayısının kısımlarıdır.
Mesele: Bir kare (sayıdan) üçte biri ve üç sayısı çıkarıldığında, 20 kalıyor. Kare (sayıyı) x ile gösterelim. Bundan üçte birini çıkarttığımız zaman, (2/3)x kalır. Bundan da 3 sayısını çıkarursak, (2/3)x-3=20 elde edilir. 2/3, 3'den ayrılır (serbest bırakılır) ve mukâbele işlemi ile 3, 20'ye eklenir, 23 elde edilir, bu (2/3)x'e eşittir. x'in katsayısı 1 yapılarak, 34 1/2 elde edilir, istenen de buydu[63].
Bu konu ile ilgilenenler için bu kadar bilgi yeterlidir. Başarı Allah’dan gelir. Allah'a şükür. Risale bitti.
The Algebra of Taqî al-dîn
In this paper, the Arabic text written by Taqi al-din is presented together with its Turkish translation. The Arabic text is based on the manuscript preserved in Oxford, 1.881, 3 1. Taqi al-din had written this short treatise in 918 H. It is composed of a preface, three chapters, and a conclusion section.
He has studied the technicalities as jadhr (to express x), mâl(to express x2) in the preface. The elementary operations by the algebraic expressions are explained in the first chapter. Second chapter is about the methods offinding the unknown. One of these methods is “jabr”. Simple and mixed equations called as famous six problems, are studied by giving examples, and the operation of jabr is applied to the problems of dewr in the third chapter. At its conclusion there are several kinds of algebraic problems.
As a result, in this short treatise, the algebra is contained in the arithmetic, so Taqi al-din has contributed to the enlarging the field of arithmetic.
